解一元二次方程根的解析式步骤详解

一元二次方程是中学数学中非常重要的内容，解一元二次方程根的解析式也是学生必须掌握的技能。本文将详细讲解解一元二次方程根的解析式步骤，帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。

一、一元二次方程的定义

一元二次方程是指形如ax²+bx+c=0（a≠0）的方程，其中a、b、c是常数，x是未知数。一元二次方程的解称为根，解一元二次方程根的解析式就是找出方程的根的表达式。

二、解一元二次方程根的解析式步骤

首先，我们需要计算判别式Δ=b²-4ac。判别式有三种情况：

（1）Δ>0：方程有两个不相等的实数根。

（2）Δ=0：方程有两个相等的实数根。

（3）Δ<0：方程没有实数根，有两个共轭复数根。

根据判别式的值，我们可以使用以下公式求解一元二次方程的根：

（1）当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，根的解析式为：

x₁=(-b+√Δ)/(2a)，x₂=(-b-√Δ)/(2a)

（2）当Δ=0时，方程有两个相等的实数根，根的解析式为：

x₁=x₂=-b/(2a)

（3）当Δ<0时，方程没有实数根，有两个共轭复数根，根的解析式为：

x₁=(-b+√(-Δ))/(2a)，x₂=(-b-√(-Δ))/(2a)

三、案例分析

【案例1】解方程：x²-3x+2=0

（1）计算判别式：Δ=(-3)²-4×1×2=1

（2）根据判别式，Δ>0，方程有两个不相等的实数根。

（3）代入求根公式：x₁=(-(-3)+√1)/(2×1)=2，x₂=(-(-3)-√1)/(2×1)=1

【案例2】解方程：x²+2x+1=0

（1）计算判别式：Δ=2²-4×1×1=0

（2）根据判别式，Δ=0，方程有两个相等的实数根。

（3）代入求根公式：x₁=x₂=-2/(2×1)=-1

【案例3】解方程：x²+4x+5=0

（1）计算判别式：Δ=4²-4×1×5=-4

（2）根据判别式，Δ<0，方程没有实数根。

（3）代入求根公式：x₁=(-4+√(-4))/(2×1)=(-4+2i)/(2×1)=-2+i，x₂=(-4-√(-4))/(2×1)=-2-i

四、总结

通过以上步骤，我们可以轻松地解出一元二次方程的根的解析式。在解题过程中，我们要注意以下几点：

掌握解一元二次方程根的解析式步骤，有助于我们更好地理解和解决实际问题，提高数学思维能力。