高中数列求和公式

高中数列求和公式

高中数学中，数列求和是一个重要的概念，以下是常见的等差数列和等比数列求和公式：

等差数列求和公式

前n项和公式:

$$S_n = \frac{n}{2} \times （a_1 + a_n）$$

其中，$S_n$ 是前n项和，$a_1$ 是首项，$a_n$ 是第n项，$n$ 是项数。

前n项和的另一种形式:

$$S_n = \frac{n}{2} \times （2a_1 + （n-1）d）$$

其中，$d$ 是公差。

等比数列求和公式

前n项和公式:

$$S_n = a_1 \times \frac{1 - q^n}{1 - q}$$

其中，$S_n$ 是前n项和，$a_1$ 是首项，$q$ 是公比，$n$ 是项数。

特殊情况:

当 $q = 1$ 时，等比数列退化为等差数列，求和公式变为：

$$S_n = n \times a_1$$

当 $q \neq 1$ 时，求和公式为：

$$S_n = a_1 \times （1 - q^n） / （1 - q）$$

特殊数列求和公式

自然数平方和:

$$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n（n + 1）（2n + 1）}{6}$$

自然数立方和:

$$\sum_{k=1}^n k^3 = \left（ \frac{n（n + 1）}{2} \right）^2$$

调和级数:

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = \ln（n） + \gamma + \frac{1}{2n} + O\left（ \frac{1}{n} \right）$$

其中，$\gamma$ 是欧拉常数。

以上公式是高中数学中常用的求和公式，掌握它们可以帮助解决许多与数列相关的数学问题。